2. Вычислите определенный интеграл: \( \int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx \)

Решение:

Вычислим данный определенный интеграл:

\[ \int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx \]

Упростим подынтегральную функцию:

\[ \frac{5\sqrt{x}}{x} = \frac{5x^{1/2}}{x^1} = 5x^{1/2 - 1} = 5x^{-1/2} \]

Теперь проинтегрируем:

\[ \int 5x^{-1/2} dx = 5 \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = 5 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 10x^{1/2} + C = 10\sqrt{x} + C \]

Вычислим определенный интеграл, используя пределы интегрирования от 1 до 4:

\[ \int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx = \left[ 10\sqrt{x} \right]_{1}^{4} \]\[ = 10\sqrt{4} - 10\sqrt{1} \]\[ = 10(2) - 10(1) \]\[ = 20 - 10 = 10 \]

Ответ: Значение определенного интеграла равно \( 10 \).