2. Вычислите угол между прямыми $AB$ и $CD$, если $A(\sqrt3; 1; 0)$, $B(0; 0; 2\sqrt2)$, $C(0; 2; 0)$, $D(\sqrt3; 1; 2\sqrt2)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Вычислите угол между прямыми $AB$ и $CD$, если $A(\sqrt3; 1; 0)$, $B(0; 0; 2\sqrt2)$, $C(0; 2; 0)$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Направляющие векторы прямых:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(-\sqrt3,-1,2\sqrt2)$,
$\overrightarrow{CD}=D-C=(\sqrt3,-1,2\sqrt2)$.

Угол между прямыми берём острым или прямым, поэтому используем модуль скалярного произведения:

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-\sqrt3)(\sqrt3)+(-1)(-1)+(2\sqrt2)(2\sqrt2)=-3+1+8=6.$

Длины векторов равны:

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{3+1+8}=2\sqrt3.$

Следовательно, $\cos\varphi=\dfrac{|6|}{(2\sqrt3)(2\sqrt3)}=\dfrac12$, откуда $\varphi=60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

2. Вычислите угол между прямыми \(AB\) и \(CD\), если \(A(\sqrt3; 1; 0)\), \(B(0; 0; 2\sqrt2)\), \(C(0; 2; 0)\), \(D(\sqrt3; 1; 2\sqrt2)\).