2. Вычислите угол (в градусах) между прямыми АВ и CD, если А(3;-2), B(4;-1), C(6;-3), D(7; - 3).

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти векторы, соответствующие прямым AB и CD, а затем использовать формулу для нахождения угла между векторами.

1. Найдем вектор $$\vec{AB}$$:
   Для этого вычтем координаты точки A из координат точки B:
   \[ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 3; -1 - (-2)) = (1; 1) \]
   
2. Найдем вектор $$\vec{CD}$$:
   Аналогично, вычтем координаты точки C из координат точки D:
   \[ \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (7 - 6; -3 - (-3)) = (1; 0) \]
   
3. Найдем угол между векторами:
   Используем формулу:
   \[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{CD}||} \]
   Где:
   $$\vec{AB} \cdot \vec{CD}$$ — скалярное произведение векторов.
   $$||\vec{AB}||$$ и $$||\vec{CD}||$$ — длины векторов.
   
   Скалярное произведение:
   \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1 \times 1) + (1 \times 0) = 1 + 0 = 1 \]
   
   Длины векторов:
   \[ ||\vec{AB}|| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
   \[ ||\vec{CD}|| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1 \]
   
   Подставим значения в формулу косинуса угла:
   \[ \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
   
   Найдем угол $$\alpha$$:
   Угол, косинус которого равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, равен 45 градусам.
   \[ \alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^{\circ} \]

Ответ: 45