2. Выполните задание: Найдите решения уравнения sin x = 1/2, удовлетворяющие условию cos x > 0. Найдите решения уравнения cos x = 1/2, удовлетворяющие условию sin x < 0.

Решение:

1. Найдем решения уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \), удовлетворяющие условию \( \cos x > 0 \).



Из уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \) следует, что \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).




Проверим условие \( \cos x > 0 \):





• Для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \): \( \cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \). Это решение подходит.


• Для \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \): \( \cos(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \). Это решение не подходит.




2. Найдем решения уравнения \( \cos x = \frac{1}{2} \), удовлетворяющие условию \( \sin x < 0 \).



Из уравнения \( \cos x = \frac{1}{2} \) следует, что \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) или \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).




Проверим условие \( \sin x < 0 \):





• Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \): \( \sin(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \). Это решение не подходит.


• Для \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \): \( \sin(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \). Это решение подходит.

Ответ: 1. \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \); 2. \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).