Ответ:

Грамматические основы выделены подчёркиванием; сочинительные союзы, соединяющие части сложносочинённых предложений, выделены полужирным.

  1. Ветер мечется, и тучи несутся. Союз и выражает одновременность событий.
  2. Пугачёв подал знак, и меня отпустили и оставили. Союз и соединяет части сложносочинённого предложения; отношения последовательности событий. Второе «и» соединяет однородные сказуемые.
  3. Шли дожди, и болота стали непроходимыми. Союз и выражает причинно-следственные отношения.
  4. Воздух был прозрачен, и море охватывало гору, а камыш хрустел и хрустел. Союз и между первыми частями выражает одновременность; союз а между второй и третьей частями — противопоставление. Последнее «и» соединяет однородные сказуемые.
  5. Тело гудело, но сидеть и прихлёбывать было приятно. Союз но выражает противопоставление. «Сидеть» и «прихлёбывать» — однородные подлежащие, выраженные инфинитивами.
  6. Лакей состроил мину, услышав обещание, однако уверил Максима Максимыча, что исполнит поручение. «Состроил» и «уверил» — однородные сказуемые; однако здесь соединяет их и выражает противопоставление. «Что» — подчинительный союз, вводящий придаточную часть; он (Лакей) исполнит — её основа.
  7. Или они забыли меня, или я не вспомнил об их существовании. Повторяющийся союз или… или выражает взаимоисключение.
  8. То конь бьёт, то волк рвёт, то вол бодает. Повторяющийся союз то… то… то выражает чередование событий.
  9. Дверь скрипнула, и голова просунулась. Союз и выражает последовательность событий.
  10. Нечего было делать, да и надо было торопиться. Союз да и имеет присоединительное значение.