2. Выразите, если возможно (рис. 10.2): а) \(\overrightarrow{BC}\) через \(\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{DA}\); б) \(\overrightarrow{AB}\) через \(\overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{AD}\); в) \(\overrightarrow{AC}\) через \(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD}\). На рисунке \(BC=5\) см, \(AD=8\) см.

В трапеции основания \(BC\) и \(AD\) параллельны и направлены одинаково как векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Поэтому \(\overrightarrow{BC}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AD}\), а \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}\).

1. Заменяем \(\overrightarrow{AD}\) на \(-\overrightarrow{DA}\): \(\overrightarrow{BC}=-\frac{5}{8}\overrightarrow{DA}\).
2. По правилу обхода четырёхугольника \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\). Значит, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}\). Подставляем \(\overrightarrow{BC}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AD}\): \(\overrightarrow{AB}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\).
3. По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\). Подставляя выражение для \(\overrightarrow{BC}\), получаем \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AD}\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{BC}=-\frac{5}{8}\overrightarrow{DA}\); б) \(\overrightarrow{AB}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\); в) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AD}\).