2. Высота CD, проведённая к основанию AB равнобедренного треугольника ABC, равна 3 см, AB = 8 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

1. Найдём радиус вписанной окружности (r).

Так как треугольник ABC равнобедренный, высота CD является также медианой. Значит, \( AD = DB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} = 4 \text{ см} \).

В прямоугольном треугольнике CDB, по теореме Пифагора найдём длину боковой стороны BC:

\[ BC^2 = CD^2 + DB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

\[ BC = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

Площадь треугольника ABC:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2 \]

Периметр треугольника ABC:

\[ P = AB + BC + AC = 8 \text{ см} + 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 18 \text{ см} \]

Радиус вписанной окружности находится по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр.

\[ p = \frac{P}{2} = \frac{18 \text{ см}}{2} = 9 \text{ см} \]

\[ r = \frac{12 \text{ см}^2}{9 \text{ см}} = \frac{4}{3} \text{ см} \]

2. Найдём радиус описанной окружности (R).

Радиус описанной окружности находится по формуле \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( S \) — площадь.

\[ R = \frac{8 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot 5 \text{ см}}{4 \cdot 12 \text{ см}^2} = \frac{200 \text{ см}^3}{48 \text{ см}^2} = \frac{25}{6} \text{ см} \]

Ответ: Радиус вписанной окружности равен \( \frac{4}{3} \) см, радиус описанной окружности равен \( \frac{25}{6} \) см.