2. Высота CD, проведённая к основанию АВ равнобедренного треугольника АВС, равна 3 см, АВ = 8 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( CD \) — высота, \( CD = 3 \) см, \( AB = 8 \) см. Найти: \( r \) (радиус вписанной окружности), \( R \) (радиус описанной окружности).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и \( CD \) — высота к основанию \( AB \), то \( CD \) также является медианой и биссектрисой. Следовательно, \( AD = DB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) см.

1. Найдем площадь \( \triangle ABC \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \) см².

2. Найдем длину боковой стороны \( AC \) (или \( BC \)) по теореме Пифагора из \( \triangle ADC \):

\( AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \)

\( AC = \sqrt{25} = 5 \) см.

3. Найдем радиус вписанной окружности \( r \) по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр треугольника.

Периметр \( P = AB + AC + BC = 8 + 5 + 5 = 18 \) см.

Полупериметр \( p = \frac{18}{2} = 9 \) см.

\( r = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \) см.

4. Найдем радиус описанной окружности \( R \) по формуле \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника.

\( R = \frac{8 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6} \) см.

Ответ: Радиус вписанной окружности \( r = \frac{4}{3} \) см, радиус описанной окружности \( R = \frac{25}{6} \) см.