№ 2. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Обозначим тупой угол ромба через \(\alpha\), а сторону — через \(a\). Высота опущена на противоположную сторону, параллельную одной из сторон ромба.

1. Горизонтальная проекция стороны на направление этой стороны равна \(a\lvert\cos\alpha\rvert\). По условию высота попадает в середину стороны, поэтому эта проекция равна \(\frac a2\). Значит, \(\lvert\cos\alpha\rvert=\frac12\), и, так как угол тупой, \(\alpha=120^\circ\).
2. Соседний угол ромба supplementary с тупым: \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).
3. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов и равна \(2a\cos(\alpha/2)\). Тогда \(4=2a\cos60^\circ=a\), следовательно, сторона ромба равна 4 см.
4. Периметр: \(P=4a=4\cdot4=16\) см.

Ответ: углы ромба — \(60^\circ\) и \(120^\circ\); периметр — 16 см.