2^x + 12 * (sqrt(2))^x - 64 = 0

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( (\sqrt{2})^x \).

1. Преобразуем уравнение, заметив, что \( 2^x = ((\sqrt{2})^2)^x = ((\sqrt{2})^x)^2 \) и \( 12 \cdot (\sqrt{2})^x \).
2. Пусть \( y = (\sqrt{2})^x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + 12y - 64 = 0 \).
3. Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 \).
4. Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \): \( y_1 = \frac{-12 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{-12 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 20}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \).
5. Вернемся к замене \( y = (\sqrt{2})^x \).
6. Рассмотрим первый случай: \( (\sqrt{2})^x = 4 \). Так как \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \), то \( (2^{1/2})^x = 2^{x/2} \). Уравнение становится \( 2^{x/2} = 2^2 \). Следовательно, \( x/2 = 2 \), откуда \( x = 4 \).
7. Рассмотрим второй случай: \( (\sqrt{2})^x = -16 \). Так как \( (\sqrt{2})^x \) всегда положительно (основание степени \( \sqrt{2} > 0 \)), это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 4.