2) \(x-\sqrt{4x+53}=5\); 8) \(\sqrt{6+x}+2x=3\).

2) Перенесём корень в правую часть: \(\sqrt{4x+53}=x-5\). Поэтому необходимо \(x\ge 5\).

Возводим обе части в квадрат: \(4x+53=(x-5)^2=x^2-10x+25\).

Получаем \(x^2-14x-28=0\). Тогда \(x=7\pm\sqrt{77}\).

Условию \(x\ge5\) удовлетворяет только \(x=7+\sqrt{77}\). Подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство.

Ответ: \(x=7+\sqrt{77}\).

8) Область определения: \(x\ge-6\). Переносим слагаемое: \(\sqrt{x+6}=3-2x\), откуда также необходимо \(x\le\frac32\).

Возводим в квадрат: \(x+6=(3-2x)^2=9-12x+4x^2\), поэтому \(4x^2-13x+3=0\).

Корни: \(x=3\) и \(x=\frac14\). Условию \(x\le\frac32\) удовлетворяет только \(\frac14\); подстановка в исходное уравнение верна.

Ответ: \(x=\frac14\).