2. (x+|x|)² + 2x - 6 = 0 x+1

Анализ уравнения:

• Уравнение содержит переменную x и абсолютное значение |x|, что требует рассмотрения двух случаев: x ≥ 0 и x < 0.
• Также присутствуют дроби, знаменатель которых (x+1) не должен быть равен нулю, то есть x ≠ -1.

Решение:

Случай 1: x ≥ 0

• Если x ≥ 0, то |x| = x.
• Подставляем в уравнение: (x+x)² / (x+1) + 2x / (x+1) - 6 = 0
• Упрощаем: (2x)² / (x+1) + 2x / (x+1) - 6 = 0
• 4x² / (x+1) + 2x / (x+1) - 6 = 0
• Приводим к общему знаменателю: (4x² + 2x) / (x+1) - 6(x+1) / (x+1) = 0
• (4x² + 2x - 6x - 6) / (x+1) = 0
• (4x² - 4x - 6) / (x+1) = 0
• Числитель должен быть равен нулю: 4x² - 4x - 6 = 0
• Делим на 2: 2x² - 2x - 3 = 0
• Используем формулу для корней квадратного уравнения: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
• x = [2 ± √((-2)² - 4 * 2 * -3)] / (2 * 2)
• x = [2 ± √(4 + 24)] / 4
• x = [2 ± √28] / 4
• x = [2 ± 2√7] / 4
• x = [1 ± √7] / 2
• Получаем два корня: x₁ = (1 + √7) / 2 и x₂ = (1 - √7) / 2.
• Проверяем условие x ≥ 0:
• (1 + √7) / 2 ≈ (1 + 2.64) / 2 ≈ 1.82. Это больше 0, подходит.
• (1 - √7) / 2 ≈ (1 - 2.64) / 2 ≈ -0.82. Это меньше 0, не подходит для данного случая.

Случай 2: x < 0

• Если x < 0, то |x| = -x.
• Подставляем в уравнение: (x + (-x))² / (x+1) + 2x / (x+1) - 6 = 0
• Упрощаем: (0)² / (x+1) + 2x / (x+1) - 6 = 0
• 0 / (x+1) + 2x / (x+1) - 6 = 0
• 2x / (x+1) - 6 = 0
• 2x / (x+1) = 6
• 2x = 6(x+1)
• 2x = 6x + 6
• -4x = 6
• x = -6 / 4
• x = -3 / 2
• Проверяем условие x < 0: -3/2 = -1.5. Это меньше 0, подходит.
• Также проверяем условие x ≠ -1: -1.5 ≠ -1, подходит.

Объединение решений:

• Из первого случая получаем корень: x = (1 + √7) / 2
• Из второго случая получаем корень: x = -3 / 2

Ответ: x = -3/2, x = (1 + √7)/2