2) y = \sqrt{x}, y = 2x, x = 1

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем точки пересечения функций. Приравниваем y = \(\sqrt{x}\) и y = 2x. \(\sqrt{x} = 2x\). Возводим обе стороны в квадрат: \(x = 4x^2\). Переносим все в одну сторону: \(4x^2 - x = 0\). Выносим x за скобки: \(x(4x - 1) = 0\). Получаем точки пересечения x = 0 и x = 1/4.
2. Шаг 2: Определяем область интегрирования. У нас есть ограничение x = 1. Нам нужно найти площадь между x = 1/4 и x = 1.
3. Шаг 3: Определяем, какая функция больше на интервале [1/4, 1]. Возьмем тестовую точку, например, x = 1/2. \(\sqrt{1/2} \approx 0.707\) и \(2 * (1/2) = 1\). Таким образом, функция y = 2x находится выше, чем y = \(\sqrt{x}\) на этом интервале.
4. Шаг 4: Составляем интеграл для нахождения площади. Площадь (A) равна интегралу от верхней функции минус нижняя функция, от нижнего предела к верхнему: \( A = \int_{1/4}^{1} (2x - \sqrt{x}) dx \).
5. Шаг 5: Вычисляем интеграл. \( \int 2x dx = x^2 \) и \( \int \sqrt{x} dx = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} \).
6. Шаг 6: Применяем пределы интегрирования: \( A = [x^2 - \frac{2}{3}x^{3/2}]_{1/4}^{1} \).
7. Шаг 7: Подставляем верхний предел (x = 1): \( (1)^2 - \frac{2}{3}(1)^{3/2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \).
8. Шаг 8: Подставляем нижний предел (x = 1/4): \( (1/4)^2 - \frac{2}{3}(1/4)^{3/2} = \frac{1}{16} - \frac{2}{3} * (1/8) = \frac{1}{16} - \frac{2}{24} = \frac{1}{16} - \frac{1}{12} \). Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель, который равен 48: \( \frac{3}{48} - \frac{4}{48} = -\frac{1}{48} \).
9. Шаг 9: Вычитаем значение нижнего предела из значения верхнего предела: \( A = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{48}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{48} \). Приводим к общему знаменателю 48: \( \frac{16}{48} + \frac{1}{48} = \frac{17}{48} \).

Ответ: \( \frac{17}{48} \)