Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Из площади основания \(\pi r^2=16\pi\) получаем \(r=4\) см. Осевое сечение — квадрат, значит высота равна диаметру: \(h=2r=8\) см.
\(S_{бок}=2\pi rh=2\pi\cdot4\cdot8=64\pi\) см².
Ответ: \(64\pi\) см².
В осевом сечении половина угла при вершине равна 45°. В прямоугольном треугольнике с катетами высотой и радиусом основания \(\tan45^\circ=r/6\), значит \(r=6\) см. Образующая \(l=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\) см.
Сечение через две образующие — равнобедренный треугольник с углом между сторонами 30°. Его площадь: \(S=\frac12 l^2\sin30^\circ=\frac12\cdot72\cdot\frac12=18\) см².
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=\pi rl=\pi\cdot6\cdot6\sqrt2=36\sqrt2\pi\) см².
Ответ: площадь сечения — 18 см²; площадь боковой поверхности — \(36\sqrt2\pi\) см².
Пусть радиус шара равен \(R\). Расстояние от центра до секущей плоскости равно \(R\sin30^\circ\), поэтому радиус сечения в квадрате равен \(R^2(1-\sin^230^\circ)=\frac34R^2\).
По площади сечения \(\pi\cdot\frac34R^2=75\pi\), откуда \(R^2=100\) и \(R=10\) см. Диаметр равен \(2R=20\) см.
Ответ: 20 см.
Для хорды длиной 3 см, стягивающей дугу 120°, имеем \(3=2r\sin60^\circ\), следовательно, \(r=\sqrt3\) см. Расстояние от центра основания до хорды равно \(r\cos60^\circ=\sqrt3/2\) см.
В сечении, перпендикулярном хорде и проходящем через ось конуса, угол между плоскостью сечения и основанием равен 45°. Поэтому высота конуса \(h=(\sqrt3/2)\tan45^\circ=\sqrt3/2\) см.
Образующая: \(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3+3/4}=\sqrt{15}/2\) см. Тогда площадь боковой поверхности \(S_{бок}=\pi rl=\pi\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt{15}}2=\frac{3\pi\sqrt5}{2}\) см².
Ответ: \(\frac{3\pi\sqrt5}{2}\) см².
