2. y = -x² - 2x + 8, y = 0.

Решение:

Заданные линии:

1. \( y = -x^2 - 2x + 8 \) (парабола)
2. \( y = 0 \) (ось Ox)

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, приравняв \( y \) к 0:

\( -x^2 - 2x + 8 = 0 \)

Умножим на -1:

\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)

Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках \( x = -4 \) и \( x = 2 \).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, нужно вычислить определенный интеграл от функции \( y = -x^2 - 2x + 8 \) в пределах от \( x = -4 \) до \( x = 2 \).

Площадь \( S = \int_{-4}^{2} (-x^2 - 2x + 8) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = [-\frac{x^3}{3} - x^2 + 8x]_{-4}^{2} \)

Подставим пределы интегрирования:

\( S = (-\frac{(2)^3}{3} - (2)^2 + 8(2)) - (-\frac{(-4)^3}{3} - (-4)^2 + 8(-4)) \)

\( S = (-\frac{8}{3} - 4 + 16) - (\frac{64}{3} - 16 - 32) \)

\( S = (-\frac{8}{3} + 12) - (\frac{64}{3} - 48) \)

\( S = \frac{-8 + 36}{3} - \frac{64 - 144}{3} \)

\( S = \frac{28}{3} - \frac{-80}{3} \)

\( S = \frac{28 + 80}{3} = \frac{108}{3} = 36 \)

Ответ: Площадь равна 36 квадратных единиц.