№ 2. Задача. На рисунке изображен тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки M, N, P и Q — середины сторон AB, AD, DC, BC; а) выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке; б) определите вид четырехугольника MNPQ.

На фотографии не виден рисунок. По указанным серединам можно установить пары равных векторов, образующих четырехугольник MNPQ.

В треугольнике ABD отрезок MN соединяет середины AB и AD, поэтому он параллелен BD и равен половине BD. В треугольнике DCB отрезок PQ также соединяет середины двух сторон, поэтому параллелен BD и равен половине BD, но направлен противоположно относительно MN. Следовательно, \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\), а также \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{PQ}\).

Аналогично, в треугольнике ADC отрезок NP параллелен AC и равен его половине; в треугольнике ABC то же верно для QM. Поэтому \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}\), а \(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}\).

В равносторонних треугольниках ABD и DCB средние линии дают \(|MN|=|PQ|= frac12|BD|\); из треугольников ADC и ABC следует \(|NP|=|QM|= frac12|AC|\). У правильного тетраэдра противоположные ребра AC и BD перпендикулярны и равны. Значит, MNPQ — прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

Ответ: а) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}\), \(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}\); б) квадрат.