2. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». Отрезки АВ и СМ пересекаются в их общей середине. Доказать, что прямые АС и ВМ параллельны.

Решение:

Дано: Отрезки AB и CM пересекаются в их общей середине.

Доказать: AC || BM.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOM \).
2. По условию, точка пересечения отрезков AB и CM является их общей серединой. Это означает, что \( AO = OB \) и \( CO = OM \).
3. Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOM \) являются вертикальными углами, следовательно, \( \angle AOC = \angle BOM \).
4. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AOC = \triangle BOM \).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle OAC = \angle OBM \).
6. Углы \( \angle OAC \) и \( \angle OBM \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых AC и BM секущей AB.
7. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые AC и BM параллельны.

Доказано.