2. Задачи: а) Найди стороны прямоугольника, если одна из них на 4 см меньше другой, периметр равен 40 см. б) Из точки E, взятой на стороне BC прямоугольника ABCD, опущен перпендикуляр EF на сторону AD. Докажи, что ABEF является прямоугольником.

а) Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая сторона равна \(x+4\) см.

По формуле периметра прямоугольника:

\(2(x+x+4)=40\).

\(2(2x+4)=40\), откуда \(4x+8=40\), \(4x=32\), \(x=8\).

Большая сторона: \(8+4=12\) см.

б) Так как \(ABCD\) — прямоугольник, то \(AB\parallel CD\) и \(BC\perp AB\). Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\), поэтому \(BE\perp AB\).

По условию \(EF\perp AD\). В прямоугольнике \(AD\parallel BC\), следовательно, \(EF\perp BC\). Так как \(AB\perp BC\), то \(EF\parallel AB\).

Кроме того, \(AF\) лежит на стороне \(AD\), поэтому \(AF\parallel BE\). Следовательно, в четырёхугольнике \(ABEF\) противоположные стороны попарно параллельны, значит, он является параллелограммом. Угол \(ABE\) прямой, так как \(AB\perp BE\). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: а) 8 см и 12 см; б) \(ABEF\) — прямоугольник.