2. Замените значок * одночленом так, чтобы получившийся трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена (последнее задание попробуйте выполни разными способами): a) 16x² +*+y²; б) 49p² - 14p+*; в) 25-10a+*; г) *-36ab+*

Решение:

Чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен иметь вид \( a^2 \pm 2ab + b^2 \) или \( a^2 \pm 2ba + b^2 \). Здесь \( * \) — это неизвестный член.

а) \( 16x^2 + * + y^2 \)

Здесь \( a^2 = 16x^2 \), значит \( a = 4x \). И \( b^2 = y^2 \), значит \( b = y \). Средний член должен быть \( 2ab \) или \( -2ab \).

• Способ 1: \( 2ab = 2 \cdot 4x \cdot y = 8xy \). Тогда трёхчлен \( 16x^2 + 8xy + y^2 = (4x + y)^2 \).
• Способ 2: \( -2ab = -2 \cdot 4x \cdot y = -8xy \). Тогда трёхчлен \( 16x^2 - 8xy + y^2 = (4x - y)^2 \).

б) \( 49p^2 - 14p + * \)

Здесь \( a^2 = 49p^2 \), значит \( a = 7p \). Средний член \( -14p = -2ab \). Подставим \( a = 7p \): \( -14p = -2 \cdot 7p \cdot b \), значит \( -14p = -14p \cdot b \), откуда \( b = 1 \). Тогда \( b^2 = 1^2 = 1 \). Трёхчлен \( 49p^2 - 14p + 1 = (7p - 1)^2 \).

в) \( 25 - 10a + * \)

Здесь \( a^2 = 25 \), значит \( a = 5 \). Средний член \( -10a = -2ab \). Подставим \( a = 5 \): \( -10a = -2 \cdot 5 \cdot b \), значит \( -10a = -10 \cdot b \), откуда \( b = a \). Тогда \( b^2 = a^2 \). Трёхчлен \( 25 - 10a + a^2 = (5 - a)^2 \).

г) \( * - 36ab + * \)

Это задание можно решить двумя способами, если предполагается, что \( * \) — это оба члена. Но если \( * \) — только один член, то это задание не решается однозначно. Исходя из предыдущих примеров, предположим, что \( * \) — это пропущенные члены:

Способ 1: Пусть \( a^2 = 36ab \) и \( b^2 = ??? \). Это не подходит. Попробуем иначе.

Способ 2: Пусть \( a^2 = ? \), \( b^2 = ? \), а \( -36ab = -2ab \). Это тоже не подходит.

Способ 3: Пусть \( a^2 = ? \), \( 2ab = 36ab \) и \( b^2 = ? \). Тогда \( a = ? \), \( b = ? \). Из \( 2ab = 36ab \) следует \( ab = 18ab \), что возможно только при \( ab=0 \), что противоречит условию. Следовательно, \( 36ab \) — это \( 2ab \) или \( b^2 \).

Наиболее вероятное решение:

Пусть \( a^2 = ? \), \( b^2 = ? \) и \( 36ab \) — это средний член, то есть \( 2ab \). Но в формуле знак минус. Значит, \( -36ab \) — это \( -2ab \).

Случай 1: \( a = 36ab \) и \( b = 1 \). Нет, \( a \) и \( b \) должны быть одночленами.

Случай 2: \( a^2 = ? \), \( b^2 = ? \) и \( -36ab = -2ab \). Если \( a = 6a \) и \( b = 3b \), то \( 2ab = 2 \cdot 6a \cdot 3b = 36ab \). Это не подходит.

Случай 3: Если \( a = x \) и \( b = y \), то \( x^2 - 36xy + y^2 \) — не квадрат двучлена. Значит, \( 36ab \) — это \( a^2 \) или \( b^2 \).

Случай 4: Если \( a^2 = ? \) и \( b^2 = 36ab \). Это неверно.

Возможный вариант:

Пусть \( a^2 = ? \), \( b^2 = ? \) и \( -36ab \) — это один из членов. Если \( a = 6a \) и \( b = 6b \), то \( a^2 = 36a^2 \) и \( b^2 = 36b^2 \). Тогда \( -2ab = -2 \cdot 6a \cdot 6b = -72ab \). Не подходит.

Если \( * \) — это два члена:

Способ 1: \( a^2 = ? \), \( 2ab = 36ab \), \( b^2 = ? \). Отсюда \( ab = 18ab \) -> \( ab=0 \). Не подходит.

Способ 2: \( a^2 = ? \), \( -2ab = -36ab \), \( b^2 = ? \). Отсюда \( ab = 18ab \) -> \( ab=0 \). Не подходит.

Рассмотрим случай, что \( 36ab \) — это \( b^2 \) или \( a^2 \)

Случай г1: \( a^2 = ? \), \( b^2 = 36ab \). Тогда \( b = \sqrt{36ab} \). Не одночлен.

Случай г2: \( b^2 = ? \), \( a^2 = 36ab \). Тогда \( a = \sqrt{36ab} \). Не одночлен.

Наиболее вероятный вариант для г):

Пусть \( a^2 = ? \), \( b^2 = ? \) и \( -36ab \) — это средний член. Если \( a = 18a \) и \( b = b \), то \( -2ab = -2 \cdot 18a \cdot b = -36ab \). Тогда \( a^2 = (18a)^2 = 324a^2 \) и \( b^2 = b^2 \). Трёхчлен \( 324a^2 - 36ab + b^2 = (18a - b)^2 \).

Другой вариант:

Если \( a = a \) и \( b = 18b \), то \( -2ab = -2 \cdot a \cdot 18b = -36ab \). Тогда \( a^2 = a^2 \) и \( b^2 = (18b)^2 = 324b^2 \). Трёхчлен \( a^2 - 36ab + 324b^2 = (a - 18b)^2 \).

Ответ:

а) \( 16x^2 + 8xy + y^2 = (4x + y)^2 \) или \( 16x^2 - 8xy + y^2 = (4x - y)^2 \).

б) \( 49p^2 - 14p + 1 = (7p - 1)^2 \).

в) \( 25 - 10a + a^2 = (5 - a)^2 \).

г) \( 324a^2 - 36ab + b^2 = (18a - b)^2 \) или \( a^2 - 36ab + 324b^2 = (a - 18b)^2 \).