20.1 Две окружности имеют общую хорду. Докажите, что она перпендикулярна прямой, на которой лежат их центры (рис. 20.47).

Решение:

• 1. Равные хорды и расстояния: В любой окружности равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра.
• 2. Общая хорда как элемент двух окружностей: Пусть две окружности с центрами O₁ и O₂ имеют общую хорду AB.
• 3. Рассмотрение треугольников: Проведем отрезки O₁A, O₁B, O₂A, O₂B.
• 4. Равные треугольники: Треугольники ΔO₁AB и ΔO₂AB являются равнобедренными, так как O₁A = O₁B (радиусы первой окружности) и O₂A = O₂B (радиусы второй окружности).
• 5. Перпендикуляры к хорде: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Пусть M — середина хорды AB. Тогда O₁M ⊥ AB и O₂M ⊥ AB.
• 6. Прямая, содержащая центры: Поскольку обе прямые O₁M и O₂M перпендикулярны AB и проходят через одну точку M, они совпадают. Это означает, что точки O₁, M, O₂ лежат на одной прямой.
• 7. Вывод: Эта прямая (O₁O₂) содержит центры обеих окружностей и перпендикулярна общей хорде AB.

Ответ: Доказано.