20.10. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \(y=\operatorname{ctg}x\) на заданном промежутке: а) на отрезке \([\pi/4;\pi/2]\); б) на полуинтервале \([\pi/2;\pi)\); в) на интервале \((-\pi;0)\); г) на отрезке \([\pi/6;3\pi/4]\).

На каждом промежутке, не содержащем точек разрыва, функция \(y=\operatorname{ctg}x\) убывает, поскольку её производная \(y'=-1/\sin^2x<0\).

1. а) На отрезке \([\pi/4;\pi/2]\) функция непрерывна и убывает. Наибольшее значение достигается в левом конце, наименьшее — в правом:

   \(\operatorname{ctg}(\pi/4)=1,\quad \operatorname{ctg}(\pi/2)=0.\)

   Ответ: наименьшее значение — 0, наибольшее — 1.

2. б) На полуинтервале \([\pi/2;\pi)\) функция убывает, причём \(\operatorname{ctg}(\pi/2)=0\), а при \(x\to\pi-\) значения стремятся к \(-\infty\). Поэтому наибольшее значение равно 0, а наименьшего значения нет.

   Ответ: наибольшее значение — 0; наименьшего нет.

3. в) На интервале \((-\pi;0)\) функция убывает, при этом \(\operatorname{ctg}x\to+\infty\) при \(x\to-\pi+\) и \(\operatorname{ctg}x\to-\infty\) при \(x\to0-\). Оба конца не входят в интервал, поэтому функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

   Ответ: наименьшего и наибольшего значений нет.

4. г) На отрезке \([\pi/6;3\pi/4]\) функция непрерывна и убывает. Следовательно, максимум достигается в левом конце, минимум — в правом:

   \(\operatorname{ctg}(\pi/6)=\sqrt{3},\quad \operatorname{ctg}(3\pi/4)=-1.\)

   Ответ: наименьшее значение — \(-1\), наибольшее — \(\sqrt{3}\).