Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 20.10. Найдите значения тригонометрических функций аргумента α, если: 1) cos α = 12/13 и 0 < α < π/2; 2) sin α = −√3/4 и π…Фото задания

Ответ:

Используем тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) и знаки функций в заданных четвертях.

  1. \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\), \(\alpha\) — в I четверти, поэтому синус положителен:

    \(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}\).

    Тогда \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{5}{12}\), \(\ctg\alpha=\frac{12}{5}\).

  2. \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt3}{4}\), \(\alpha\) — в III четверти, поэтому косинус отрицателен:

    \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{3}{16}}=-\frac{\sqrt{13}}{4}\).

    Тогда \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{39}}{13}\), \(\ctg\alpha=\frac{\sqrt{39}}{3}\).

  3. \( g\alpha=-\frac13\), \(\alpha\) — в IV четверти, поэтому \(\cos\alpha>0\), \(\sin\alpha<0\). Из \(1+ g^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\) получаем \(\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\). Тогда \(\sin\alpha= g\alpha\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}\), а \(\ctg\alpha=-3\).

  4. \(\ctg\alpha=-7\), \(\alpha\) — во II четверти, поэтому \(\sin\alpha>0\), \(\cos\alpha<0\). Из \(1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\) получаем \(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}{10}\). Тогда \(\cos\alpha=\ctg\alpha\sin\alpha=-\frac{7\sqrt2}{10}\), а \( g\alpha=-\frac17\).

Ответ: 1) \(\sin\alpha=\frac5{13},\ g\alpha=\frac5{12},\ \ctg\alpha=\frac{12}{5}\); 2) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{13}}4,\ g\alpha=\frac{\sqrt{39}}{13},\ \ctg\alpha=\frac{\sqrt{39}}3\); 3) \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10},\ \cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10},\ \ctg\alpha=-3\); 4) \(\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{10},\ \cos\alpha=-\frac{7\sqrt2}{10},\ g\alpha=-\frac17\).