20.11. Найдите область значений заданной функции: а) \(y= g x,\ x\in[0;\frac{\pi}{2})\); б) \(y=\ctg x,\ x\in[-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{3}]\); в) \(y= g x,\ x\in(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2})\cup(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4})\); г) \(y=\ctg x,\ x\in(\frac{\pi}{2};\pi)\cup(\pi;\frac{3\pi}{2})\).

1. На отрезке \([0;\frac{\pi}{2})\) функция \( g x\) непрерывно возрастает, принимает значение \(0\) при \(x=0\), а при \(x\to\frac{\pi}{2}-0\) неограниченно возрастает. Поэтому область значений: \([0; +\infty)\).

2. Функция \(\ctg x\) имеет период \(\pi\), поэтому интервал \([-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{3}]\) можно сдвинуть на \(\pi\): получим \([\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}]\). В точке \(x=\frac{\pi}{2}\) функция не определена, а на каждом промежутке области определения она убывает. На \([\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2})\) значения меняются от \(\sqrt{3}\) до предела \(0\), не включая его; на \((\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]\) — от предела \(0\), не включая его, до \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Объединяя результаты, получаем область значений \([-\frac{1}{\sqrt{3}};0)\cup(0;\sqrt{3}]\).

3. Точка \(x=\frac{3\pi}{2}\), в которой тангенс не определён, исключена из обоих промежутков. На каждом из промежутков тангенс непрерывен и возрастает. На первом его значения от предела \(-1\) при \(x\to\frac{3\pi}{4}+0\) до \(+\infty\); на втором — от \(-\infty\) до предела \(1\) при \(x\to\frac{7\pi}{4}-0\). Следовательно, область значений: \((-1; +\infty)\cup(-\infty;1)=\mathbb{R}\).

4. На \((\frac{\pi}{2};\pi)\) функция \(\ctg x\) убывает от предела \(0\) к \(-\infty\), поэтому принимает значения \(( -\infty;0)\). На \((\pi;\frac{3\pi}{2})\) она убывает от \(+\infty\) к пределу \(0\), поэтому принимает значения \((0; +\infty)\). Точка \(x=\pi\) исключена из заданного множества, и \(\ctg x\) нигде не равна нулю. Значит, область значений: \(( -\infty;0)\cup(0; +\infty)\).

Ответ: а) \([0; +\infty)\); б) \([-\frac{1}{\sqrt{3}};0)\cup(0;\sqrt{3}]\); в) \(\mathbb{R}\); г) \(( -\infty;0)\cup(0; +\infty)\).