20.2 В окружности провели две равные хорды. Докажите, что они находятся на одинаковых расстояниях от её центра (рис. 20.48).

Решение:

• 1. Условие: В окружности с центром O проведены две равные хорды AB и CD (AB = CD).
• 2. Расстояние от центра до хорды: Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду.
• 3. Построение: Опустим перпендикуляры из центра O на хорды AB и CD. Пусть эти перпендикуляры пересекают хорды в точках M и N соответственно. Таким образом, OM ⊥ AB и ON ⊥ CD.
• 4. Свойства перпендикуляра к хорде: В окружности перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, AM = MB = AB/2 и CN = ND = CD/2.
• 5. Равенство половин хорд: Так как AB = CD, то и их половины равны: AM = MB = CN = ND.
• 6. Рассмотрение прямоугольных треугольников: Рассмотрим два прямоугольных треугольника: ΔOMA и ΔONC.
• 7. Сравнение треугольников:
  • У них равны катеты: AM = CN (из п. 5).
  • У них равны гипотенузы: OA = OC (так как это радиусы одной окружности).
• 8. Признак равенства прямоугольных треугольников: По двум сторонам (катет и гипотенуза) эти треугольники равны (второй признак равенства прямоугольных треугольников).
• 9. Равенство расстояний: Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть OM = ON.
• 10. Вывод: OM и ON — это расстояния от центра окружности до хорд AB и CD соответственно. Так как OM = ON, то равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Ответ: Доказано.