20.20. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через указанную точку M: а) y = 3x² − 4x, M(2; 19); б) y = 3/x² + 1, M(−0,5; −3); в) y = 4x³ + 3x², M(1; −12); г) y = 2x − 5/x², M(1/4; 7).

1. а) Интегрируем функцию: \(F(x)=x^3-2x^2+C\).

   Подставляем координаты точки: \(19=2^3-2\cdot2^2+C=C\), поэтому \(C=19\).

   б) Интегрируем функцию: \(F(x)=-\frac{3}{x}+x+C\).

   Подставляем координаты точки: \(-3=-\frac{3}{-0.5}-0.5+C=5.5+C\), поэтому \(C=-\frac{17}{2}\).

   в) Интегрируем функцию: \(F(x)=x^4+x^3+C\).

   Подставляем координаты точки: \(-12=1+1+C\), откуда \(C=-14\).

   г) Интегрируем функцию: \(F(x)=x^2+\frac{5}{x}+C\).

   Подставляем координаты точки: \(7=\frac{1}{16}+20+C\), откуда \(C=-\frac{209}{16}\).

Ответ: а) \(F(x)=x^3-2x^2+19\); б) \(F(x)=-\frac{3}{x}+x-\frac{17}{2}\); в) \(F(x)=x^4+x^3-14\); г) \(F(x)=x^2+\frac{5}{x}-\frac{209}{16}\).