20.21. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через указанную точку M: а) y = sin x, M(π/3; 1/4); б) y = 5/cos² 5x, M(π/4; −1); в) y = cos x, M(π/6; 1); г) y = 1/sin²(x/3), M(3π/4; 0).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Интегрируем: \(F(x)=-\cos x+C\). Подставляем точку: \(\frac14=-\cos\frac{\pi}{3}+C=-\frac12+C\), значит, \(C=\frac34\).
б) Интегрируем: \(F(x)=\tan 5x+C\). Подставляем точку: \(-1=\tan\frac{5\pi}{4}+C=1+C\), значит, \(C=-2\).
в) Интегрируем: \(F(x)=\sin x+C\). Подставляем точку: \(1=\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac12+C\), значит, \(C=\frac12\).
г) Интегрируем: \(F(x)=-3\cot\frac{x}{3}+C\). Подставляем точку: \(0=-3\cot\frac{\pi}{4}+C=-3+C\), значит, \(C=3\).

Ответ: а) \(F(x)=-\cos x+\frac34\); б) \(F(x)=\tan 5x-2\); в) \(F(x)=\sin x+\frac12\); г) \(F(x)=-3\cot\frac{x}{3}+3\).