20.(3 балла) Решить уравнение sin 2x = 2 cos2 x

Решение:

20. Решение уравнения \( \sin 2x = 2 \cos^2 x \)

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), тогда \( 2 \cos^2 x = 2(1 - \sin^2 x) = 2 - 2 \sin^2 x \).

Подставим в исходное уравнение:

\( 2 \sin x \cos x = 2 - 2 \sin^2 x \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( 2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 2 = 0 \)

Разделим на 2:

\( \sin^2 x + \sin x \cos x - 1 = 0 \)

Заменим \( 1 \) на \( \sin^2 x + \cos^2 x \):

\( \sin^2 x + \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \)

\( \sin^2 x + \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0 \)

\( \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \)

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\( \cos x (\sin x - \cos x) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Случай 1: \( \cos x = 0 \)

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Случай 2: \( \sin x - \cos x = 0 \)

\( \sin x = \cos x \)

Разделим обе части на \( \cos x \) (учтем, что \( \cos x \neq 0 \), так как если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и \( \sin x = \cos x \) не выполняется).

\( \tan x = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.