20.(3 балла) Решить уравнение sin 2x = 2 cos2 x

Решение:

Перепишем уравнение, используя формулу синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x) \):

\[ 2 \sin(x)\cos(x) = 2 \cos^2(x) \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 2 \sin(x)\cos(x) - 2 \cos^2(x) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 2\cos(x) \):

\[ 2 \cos(x) (\sin(x) - \cos(x)) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

Случай 1: \( 2 \cos(x) = 0 \)

\[ \cos(x) = 0 \]

Это значит, что \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \( \sin(x) - \cos(x) = 0 \)

\[ \sin(x) = \cos(x) \]

Разделим обе части на \( \cos(x) \) (мы можем это сделать, так как \( \cos(x) = 0 \) не является решением этого уравнения, так как \( \sin(x) \) было бы равно 0, что невозможно одновременно с \( \cos(x)=0 \)):

\[ \text{tg}(x) = 1 \]

Это значит, что \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.