20. а) \(\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\cdot\sqrt[4]{6\frac{3}{4}}\); б) \(\frac{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{2}}\); в) \(\left(\sqrt[4]{16}\right)^3\); г) \(\sqrt[5]{3^{10}\cdot11^6}\); д) \(\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2}\), при \(2\le a\le4\). Упростите выражения.

а) Преобразуем смешанное число: \(6\frac{3}{4}=\frac{27}{4}\). Объединим корни одинакового показателя: \(\sqrt[4]{\frac{3}{4}\cdot\frac{27}{4}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{3}{2}\).

б) Объединим корни третьей степени: \(\sqrt[3]{\frac{3\cdot18}{2}}=\sqrt[3]{27}=3\).

в) \(\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8\).

г) Выделим из подкоренного выражения полные пятые степени: \(\sqrt[5]{3^{10}\cdot11^6}=3^2\cdot11\sqrt[5]{11}=99\sqrt[5]{11}\).

д) Так как \(2\le a\le4\), имеем \(|a-2|=a-2\) и \(|a-4|=4-a\). Следовательно, \(\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2}=|a-2|+|a-4|=(a-2)+(4-a)=2\).

Ответ: а) \(\frac{3}{2}\); б) 3; в) 8; г) \(99\sqrt[5]{11}\); д) 2.