20 г розчину містить 25% солі. Скільки грамів 70-відсоткового розчину потрібно додати, щоб отримати 50-відсотковий розчин?

Решение:

Обозначим:

• \( m_1 \) — масса 25%-го раствора (20 г).
• \( w_1 \) — массовая доля соли в первом растворе (25% или 0.25).
• \( m_2 \) — масса 70%-го раствора, которую нужно добавить (неизвестно).
• \( w_2 \) — массовая доля соли во втором растворе (70% или 0.70).
• \( m_{отр} \) — масса итогового 50%-го раствора.
• \( w_{отр} \) — массовая доля соли в итоговом растворе (50% или 0.50).

Сначала найдём массу соли в исходном 25%-м растворе:

\[ m_{соли_1} = m_1 \cdot w_1 = 20 \text{ г} \cdot 0.25 = 5 \text{ г} \]

Пусть \( x \) граммов 70%-го раствора нужно добавить. Тогда масса соли в этом растворе будет \( 0.70x \) граммов.

Масса итогового раствора будет \( m_{отр} = m_1 + x = 20 + x \) граммов.

Масса соли в итоговом растворе будет \( m_{соли_{отр}} = m_{соли_1} + 0.70x = 5 + 0.70x \) граммов.

Мы знаем, что массовая доля соли в итоговом растворе должна быть 50%, то есть:

\[ w_{отр} = \frac{m_{соли_{отр}}}{m_{отр}} \]

Подставим известные значения:

\[ 0.50 = \frac{5 + 0.70x}{20 + x} \]

Теперь решим это уравнение:

\[ 0.50 \cdot (20 + x) = 5 + 0.70x \]

\( 10 + 0.50x = 5 + 0.70x \)

\( 10 - 5 = 0.70x - 0.50x \)

\( 5 = 0.20x \)

\( x = \frac{5}{0.20} = \frac{5}{1/5} = 5 \cdot 5 = 25 \)

Значит, нужно добавить 25 граммов 70%-го раствора.

Проверим:

Масса итогового раствора: \( 20 \text{ г} + 25 \text{ г} = 45 \text{ г} \).

Масса соли в итоговом растворе: \( 5 \text{ г} + 0.70 \cdot 25 \text{ г} = 5 \text{ г} + 17.5 \text{ г} = 22.5 \text{ г} \).

Массовая доля соли в итоговом растворе: \( \frac{22.5}{45} = 0.5 = 50\% \). Проверка верна.

Ответ: 25 граммов.