20. (М 6 баллов) Серединный перпендикуляр к боковой стороне AB равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Д. Найти основание АС, если периметр AADC = 24 ст и АВ = 16 ст.

1. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает AB в точке F и BC в точке D. Так как FD - серединный перпендикуляр к AB, то любая точка на нем равноудалена от A и B. Следовательно, AD = BD.

2. Периметр треугольника ADC равен AD + DC + AC = 24.

3. Так как AD = BD, то периметр можно записать как BD + DC + AC = BC + AC = 24.

4. Треугольник ABC равнобедренный, и серединный перпендикуляр к боковой стороне AB пересекает BC. Это означает, что AB = AC.

5. Подставляя AB = AC в уравнение BC + AC = 24, получаем BC + AB = 24.

6. По условию AB = 16 см. Следовательно, BC + 16 = 24, что дает BC = 8 см.

7. Так как треугольник равнобедренный и AB = AC, то AC = 16 см.

8. Проверка: Если AC = 16, AB = 16, BC = 8. Периметр ADC = AD + DC + AC. AD = BD. Пусть AC = AB = 16. Серединный перпендикуляр к AB пересекает BC в точке D. AD = BD. Периметр ADC = AD + DC + AC = BD + DC + AC = BC + AC = 24. Если AC = 16, то BC = 24 - 16 = 8. В равнобедренном треугольнике с AB=AC=16 и BC=8, серединный перпендикуляр к AB пересекает BC. AD=BD. Периметр ADC = AD + DC + AC = BD + DC + AC = BC + AC = 8 + 16 = 24. Это соответствует условию.

Ответ: 16