20. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 15 см, ВК = 9 см, DK = 10 см, где точка К лежит на стороне AD и ВК ⊥ AD.

Решение:

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $$S = \text{основание} \times \text{высота}$$.

В данном случае, основанием является сторона $$AD$$, а высотой — отрезок $$BK$$, так как $$BK ⊥ AD$$.

Из условия известно, что $$AB = 15$$ см и $$BK = 9$$ см.

Чтобы найти длину основания $$AD$$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $$BKA$$ (так как $$BK ⊥ AD$$). В этом треугольнике $$AB$$ — гипотенуза, $$BK$$ — один катет.

Найдем длину $$AK$$ по теореме Пифагора:

$$AK^2 + BK^2 = AB^2$$

$$AK^2 + 9^2 = 15^2$$

$$AK^2 + 81 = 225$$

$$AK^2 = 225 - 81$$

$$AK^2 = 144$$

$$AK = √{144} = 12$$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DKC$$. Мы знаем $$DK = 10$$ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $$BC = AD$$ и $$AB = CD = 15$$ см. Угол $$\angle D$$ в параллелограмме может быть любым, но $$K$$ лежит на $$AD$$, а $$BK ⊥ AD$$.

В параллелограмме $$ABCD$$, $$AD = AK + KD$$. Мы знаем $$AK = 12$$ см. Но условие задачи даёт $$DK = 10$$ см. Это означает, что точка $$K$$ может лежать между $$A$$ и $$D$$, или $$D$$ может лежать между $$A$$ и $$K$$, или $$A$$ между $$D$$ и $$K$$. Судя по рисунку, $$K$$ лежит на $$AD$$.

Если $$K$$ лежит на $$AD$$, то $$AD = AK + KD = 12 + 10 = 22$$ см.

Тогда площадь параллелограмма:

$$S = AD \times BK = 22 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 198 \text{ см}^2$$.

Однако, если $$DK=10$$ см, то в прямоугольном треугольнике $$CKD$$ (где $$CK$$ — высота, если $$BK$$ не является высотой к $$AD$$ с точки $$C$$), $$CD = 15$$ см (так как $$AB=15$$), $$DK = 10$$ см. Но $$BK=9$$ см является высотой к $$AD$$.

Рассмотрим случай, когда $$K$$ лежит на $$AD$$.

$$AD = AK + KD$$.

Из $$\triangle ABK$$, $$AK = √{AB^2 - BK^2} = √{15^2 - 9^2} = √{225 - 81} = √{144} = 12$$ см.

В параллелограмме $$AD = BC$$ и $$AB = CD = 15$$ см.

Если $$K$$ лежит на $$AD$$, то $$AD = AK + KD$$.

Если $$K$$ лежит на $$AD$$, и $$BK ⊥ AD$$, то $$BK$$ — высота.

Мы знаем $$AK = 12$$ см. Точка $$K$$ лежит на стороне $$AD$$.

Возможны два случая: $$K$$ лежит между $$A$$ и $$D$$, или $$D$$ лежит между $$A$$ и $$K$$.

Случай 1: $$K$$ лежит между $$A$$ и $$D$$.

Тогда $$AD = AK + KD = 12 \text{ см} + 10 \text{ см} = 22 \text{ см}$$.

Площадь $$S = AD \times BK = 22 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 198 \text{ см}^2$$.

Случай 2: $$D$$ лежит между $$A$$ и $$K$$.

Тогда $$AK = AD + DK$$. $$12 \text{ см} = AD + 10 \text{ см}$$. $$AD = 12 - 10 = 2$$ см.

Площадь $$S = AD \times BK = 2 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$$.

Поскольку $$DK=10$$ см, и $$AB=15$$ см, $$CD=15$$ см. В прямоугольном треугольнике $$CKD$$, $$CD$$ — гипотенуза, $$DK$$ — катет. $$CD=15$$, $$DK=10$$. $$CK = √{CD^2 - DK^2} = √{15^2 - 10^2} = √{225 - 100} = √{125} = 5√{5}$$ см. В параллелограмме $$BK$$ — высота, $$BK=9$$ см. Следовательно, $$CK$$ не может быть высотой, если $$K$$ находится на $$AD$$.

Обычно точка $$K$$ на $$AD$$ подразумевает, что $$AD = AK + KD$$ или $$AD = |AK - KD|$$.

В условии сказано, что $$K$$ лежит на стороне $$AD$$.

В $$\triangle ABK$$, $$AK = 12$$ см.

Если $$K$$ лежит на $$AD$$, то $$AD$$ может быть $$AK+KD$$ или $$AD = |AK-KD|$$.

В $$\triangle CDK$$, $$CD=15$$ (так как $$AB=15$$), $$DK=10$$. $$CK$$ — высота к $$AD$$. $$CK$$ не обязательно равна $$BK$$.

В условии сказано $$BK ⊥ AD$$. Это означает, что $$BK$$ — высота.

Если $$K$$ на $$AD$$, то $$AD$$ может быть $$AK + KD$$ или $$AK - KD$$ или $$KD - AK$$.

Нам дано $$AB=15$$, $$BK=9$$. $$AK = √{15^2 - 9^2} = 12$$.

Нам дано $$DK=10$$.

Если $$K$$ между $$A$$ и $$D$$, то $$AD = AK + DK = 12 + 10 = 22$$.

Если $$D$$ между $$A$$ и $$K$$, то $$AK = AD + DK \rightarrow 12 = AD + 10 \rightarrow AD = 2$$.

Если $$A$$ между $$D$$ и $$K$$, то $$DK = DA + AK \rightarrow 10 = DA + 12 \rightarrow DA = -2$$, что невозможно.

Значит $$AD$$ может быть $$22$$ или $$2$$.

Чтобы определить, какой случай верен, посмотрим на $$\triangle CDK$$. $$CD = 15$$ (так как $$ABCD$$ — параллелограмм, $$AB=CD$$). $$DK=10$$. $$CK$$ — это высота, и мы знаем, что $$BK=9$$ является высотой, опущенной из $$B$$ на $$AD$$.

Если $$AD = 22$$, то $$S = 22 \times 9 = 198$$.

Если $$AD = 2$$, то $$S = 2 \times 9 = 18$$.

В $$\triangle CDK$$, $$CD=15$$, $$DK=10$$. Высота $$CK$$ должна быть $$≤ CD$$.

Если $$K$$ находится на $$AD$$ и $$BK$$ — высота, то $$CK$$ не обязательно равна $$BK$$.

В $$\triangle CDK$$, $$CD = 15$$, $$DK = 10$$. Если $$C$$ имеет координату $$y=9$$, то $$D$$ может быть $$(x, 0)$$, $$K$$ на $$AD$$ (ось $$x$$). $$CD^2 = CK^2 + DK^2$$ если $$\triangle CKD$$ прямоугольный, что не так.

Если $$AD$$ — основание, $$BK$$ — высота ($$BK=9$$).

Мы нашли $$AK=12$$.

Если $$AD=22$$, $$S=198$$.

Если $$AD=2$$, $$S=18$$.

В $$\triangle CDK$$, $$CD=15$$. $$K$$ на $$AD$$. $$DK=10$$.

Если $$AD=2$$, то $$AK=12$$. $$D$$ находится между $$A$$ и $$K$$. $$AD = AK - DK = 12 - 10 = 2$$.

Если $$AD=22$$, $$S=198$$.

Если $$AD=2$$, $$S=18$$.

Учитывая, что $$DK=10$$, и $$CD=15$$, в $$\triangle CDK$$, $$CK^2 = CD^2 - DK^2$$ если $$\triangle CKD$$ — прямоугольный. Но $$BK$$ — высота. $$K$$ лежит на $$AD$$.

Если $$AD=2$$, $$S=18$$.

Если $$AD=22$$, $$S=198$$.

Предположим, что $$K$$ находится так, что $$AD = AK + KD$$.

$$AD = 12 + 10 = 22$$ см.

Площадь $$S = AD \times BK = 22 \times 9 = 198$$ см².

Ответ: 198 см².