20. Найдите все неизвестные углы треугольника.

Решение:

В треугольнике MQR:

• \( \angle MRQ = 45^w \) (по условию)
• \( \angle RMQ \) и \( \angle QMR \) отмечены одинаковыми штрихами, значит, \( \angle RMQ = \angle QMR \).
• \( \angle RQM = 80^w \) (по условию)
• \( \angle RMQ = \angle QMR = \frac{180^w - 80^w}{2} = \frac{100^w}{2} = 50^w \)

В треугольнике MRO:

• \( \angle MOR = 180^w - 80^w = 100^w \) (развёрнутый угол)
• \( \angle OMR = 50^w \) (из \( \triangle MQR \))
• \( \angle OMR = 50^w \) (из \( \triangle MQR \))
• \( \angle OMR = 50^w \) (из \( \triangle MQR \))
• \( \angle MOR = 180^w - \angle OMR - \angle ORM \)
• \( \angle ORM = 180^w - 100^w - 50^w = 30^w \)

В треугольнике QRO:

• \( \angle QOR = 180^w - \angle MOR = 180^w - 100^w = 80^w \) (вертикальные углы)
• \( \angle OQR = 80^w \) (по условию)
• \( \angle ORQ = 180^w - 80^w - 80^w = 20^w \)

Неизвестные углы:

• \( \angle RMQ = 50^w \)
• \( \angle QMR = 50^w \)
• \( \angle MOR = 100^w \)
• \( \angle ORM = 30^w \)
• \( \angle QOR = 80^w \)
• \( \angle ORQ = 20^w \)

Ответ: \( \angle RMQ = 50^w, \angle QMR = 50^w, \angle MOR = 100^w, \angle ORM = 30^w, \angle QOR = 80^w, \angle ORQ = 20^w \).