Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
20. Найти неопределенный интеграл. 7. ∫ dx / (3 + cos x)
Ответ:
Краткое пояснение:
Для вычисления данного интеграла мы будем использовать универсальную тригонометрическую подстановку, которая преобразует интеграл от рациональной функции тригонометрических функций в интеграл от рациональной функции новой переменной.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Обозначим t = tg(x/2). Тогда dx = 2dt / (1 + t^2) и cos x = (1 - t^2) / (1 + t^2).
- Шаг 2: Подставим эти выражения в интеграл:
\( \int \frac{dx}{3 + \cos x} = \int \frac{\frac{2dt}{1 + t^2}}{3 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \) - Шаг 3: Упростим знаменатель:
\( 3 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{3(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2} = \frac{3 + 3t^2 + 1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{4 + 2t^2}{1 + t^2} \) - Шаг 4: Подставим упрощенный знаменатель обратно в интеграл:
\( \int \frac{\frac{2dt}{1 + t^2}}{\frac{4 + 2t^2}{1 + t^2}} = \int \frac{2dt}{4 + 2t^2} = \int \frac{dt}{2 + t^2} \) - Шаг 5: Вычислим полученный интеграл. Это табличный интеграл вида \( \int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) + C \), где a^2 = 2, значит a = \sqrt{2}.
\( \int \frac{dt}{2 + t^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{t}{\sqrt{2}}) + C \) - Шаг 6: Вернемся к исходной переменной, подставив t = tg(x/2):
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{\operatorname{tg}(x/2)}{\sqrt{2}}) + C \)
Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{\operatorname{tg}(x/2)}{\sqrt{2}}) + C \)
