20. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 13 вопросов теста, а Ваня — на 15. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 40 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение:

1. Найдем, сколько вопросов составляют 1 минуту работы для Пети и Вани:
• Петя: \( 13 \text{ вопросов} / 60 \text{ минут} = \frac{13}{60} \text{ вопроса/минуту} \).
• Ваня: \( 15 \text{ вопросов} / 60 \text{ минут} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \text{ вопроса/минуту} \).
2. Определим, сколько времени потратил каждый на тест. Пусть \( t \) — время, которое Ваня потратил на тест. Тогда Петя потратил \( t - \frac{40}{60} \) часа, или \( 60t - 40 \) минут.
3. Составим уравнение, исходя из того, что оба ответили на одинаковое количество вопросов (обозначим это количество как \( x \)):
• Для Пети: \( x = \frac{13}{60} \cdot (60t - 40) \)
• Для Вани: \( x = 15 \)
4. Приравняем выражения для \( x \):
• \( \frac{13}{60} (60t - 40) = 15t \)
• \( 13(t - \frac{40}{60}) = 15t \)
• \( 13t - 13 \frac{40}{60} = 15t \)
• \( 13t - \frac{520}{60} = 15t \)
• \( 13t - \frac{26}{3} = 15t \)
• \( 2t = -\frac{26}{3} \)
• \( t = -\frac{13}{3} \) — это время, которое Ваня потратил на тест. Значит, здесь ошибка в рассуждении.
5. Переформулируем задачу: Пусть \( N \) — количество вопросов в тесте.
• Время, которое Петя потратил на тест: \( T_п = \frac{N}{13} \) часа.
• Время, которое Ваня потратил на тест: \( T_в = \frac{N}{15} \) часа.
• Петя закончил тест позже Вани на 40 минут, то есть \( T_п = T_в + \frac{40}{60} \) часа.
6. Подставим выражения для времени:
• \( \frac{N}{13} = \frac{N}{15} + \frac{40}{60} \)
• \( \frac{N}{13} = \frac{N}{15} + \frac{2}{3} \)
• Приведем к общему знаменателю \( 13 15 3 = 585 \):
• \( \frac{15 3N}{585} = \frac{13 3N}{585} + \frac{13 15 2}{585} \)
• \( 45N = 39N + 390 \)
• \( 45N - 39N = 390 \)
• \( 6N = 390 \)
• \( N = \frac{390}{6} \)
• \( N = 65 \)

Ответ: тест содержит 65 вопросов.