20. Постройте треугольник K₁P₁M₁, вершины которого симметричны вершинам треугольника KPM относительно точки A. Докажите, что K₁M₁ = KM; ∠K₁P₁M₁ = ∠KPM. Построение: 1) проведём лучи KA, MA, ____; 2) отложим на лучах KA, MA, ____ отрезки AK₁, AM₁, ____, равные соответственно отрезкам AK, AM, ____; 3) соединим отрезками точки K₁, M₁, ____. Доказательство: рассмотрим треугольники K₁AM₁ и KAM. Они равны по ____ признаку равенства треугольников. А в равных треугольниках ____ элементы ____. Следовательно, K₁M₁ = ____ и ∠K₁P₁M₁ = ____.

Построение.

1. Проведём лучи KA, MA, PA.
2. На лучах, противоположных KA, MA, PA, отложим отрезки AK₁, AM₁, AP₁, равные соответственно отрезкам AK, AM, AP. Тогда A — середина каждого из отрезков KK₁, MM₁ и PP₁.
3. Соединим отрезками точки K₁, M₁, P₁ и получим треугольник K₁P₁M₁.

Доказательство. В треугольниках K₁AM₁ и KAM имеем AK₁ = AK, AM₁ = AM. Углы K₁AM₁ и KAM равны как углы между попарно противоположными лучами. Поэтому треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, K₁M₁ = KM.

Кроме того, AK₁ = AK, AP₁ = AP и ∠K₁AP₁ = ∠KAP, поэтому треугольники K₁AP₁ и KAP равны по первому признаку. Аналогично равны треугольники M₁AP₁ и MAP. Значит, соответствующие стороны K₁P₁ и KP, M₁P₁ и MP равны. Тогда треугольники K₁P₁M₁ и KPM равны по трём сторонам, и их соответствующие углы равны: ∠K₁P₁M₁ = ∠KPM.