20. Реши уравнение x² – 2x + √7 – x = √7 – x + 24. В ответе запиши корни в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов. Пример записи: если x₁ = 2 и x₂ = 3, то в ответе запиши 23.

Решение:

Уравнение: \( x^2 - 2x + \sqrt{7 - x} = \sqrt{7 - x} + 24 \)

1. Для начала, упростим уравнение, вычтя \( \sqrt{7 - x} \) из обеих частей: \( x^2 - 2x = 24 \)
2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \( x^2 - 2x - 24 = 0 \)
3. Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Воспользуемся дискриминантом. \( a = 1, b = -2, c = -24 \).
4. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
6. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
7. Важно проверить, что корни удовлетворяют условию \( 7 - x \ge 0 \), так как под корнем не может быть отрицательного числа.
8. Проверка для \( x_1 = 6 \): \( 7 - 6 = 1 \ge 0 \). Корень подходит.
9. Проверка для \( x_2 = -4 \): \( 7 - (-4) = 7 + 4 = 11 \ge 0 \). Корень подходит.
10. Запишем корни в порядке возрастания: \( -4 \) и \( 6 \).

Ответ: -46