20. Реши уравнение x (x^2 – 6x + 9) = x – 3. Если корней несколько, то в ответе укажи их сумму.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону.
   Уравнение: \( x(x^2 - 6x + 9) = x - 3 \)
   \( x^3 - 6x^2 + 9x = x - 3 \)
   \( x^3 - 6x^2 + 9x - x + 3 = 0 \)
   \( x^3 - 6x^2 + 8x + 3 = 0 \)
2. Шаг 2: Заметим, что \( x^2 - 6x + 9 \) является полным квадратом: \( (x-3)^2 \).
   Тогда исходное уравнение можно переписать как: \( x(x-3)^2 = x-3 \)
3. Шаг 3: Перенесем все члены в левую часть:
   \( x(x-3)^2 - (x-3) = 0 \)
4. Шаг 4: Вынесем общий множитель \( (x-3) \):
   \( (x-3) [x(x-3) - 1] = 0 \)
5. Шаг 5: Раскроем скобки во второй части:
   \( (x-3) [x^2 - 3x - 1] = 0 \)
6. Шаг 6: Приравняем каждый множитель к нулю:
   Вариант 1: \( x - 3 = 0 \) => \( x_1 = 3 \)
   Вариант 2: \( x^2 - 3x - 1 = 0 \)
7. Шаг 7: Решим квадратное уравнение \( x^2 - 3x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).
   \( D = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13 \)
   \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
   \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \)
   \( x_3 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \)
8. Шаг 8: Найдем сумму корней:
   \( x_1 + x_2 + x_3 = 3 + \frac{3 + \sqrt{13}}{2} + \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \)
   \( = 3 + \frac{3 + \sqrt{13} + 3 - \sqrt{13}}{2} \)
   \( = 3 + \frac{6}{2} \)
   \( = 3 + 3 \)
   \( = 6 \)

Ответ: 6