20. Решите неравенство $$ \frac{2^{x+5} - 2^{-x}}{2^{3-x} - 4^{-x}} \geq 2^x $$

Решение:

Исходное неравенство:

\[ \frac{2^{x+5} - 2^{-x}}{2^{3-x} - 4^{-x}} \geq 2^x \]

Приведём степени к основанию 2:

\[ \frac{2^{x} \cdot 2^5 - \frac{1}{2^x}}{2^3 \cdot 2^{-x} - (2^2)^{-x}} \geq 2^x \]

\[ \frac{32 \cdot 2^x - \frac{1}{2^x}}{\frac{8}{2^x} - \frac{1}{2^{2x}}} \geq 2^x \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^x \), при этом \( y > 0 \). Тогда неравенство примет вид:

\[ \frac{32y - \frac{1}{y}}{\frac{8}{y} - \frac{1}{y^2}} \geq y \]

Умножим числитель и знаменатель левой части на \( y^2 \) (так как \( y > 0 \), \( y^2 > 0 \)):

\[ \frac{32y^2 - y}{8y - 1} \geq y \]

Перенесём \( y \) в левую часть:

\[ \frac{32y^2 - y}{8y - 1} - y \geq 0 \]

\[ \frac{32y^2 - y - y(8y - 1)}{8y - 1} \geq 0 \]

\[ \frac{32y^2 - y - 8y^2 + y}{8y - 1} \geq 0 \]

\[ \frac{24y^2}{8y - 1} \geq 0 \]

Так как \( y = 2^x \), то \( y > 0 \) и \( y^2 > 0 \). Следовательно, \( 24y^2 > 0 \).

Таким образом, знак неравенства зависит только от знаменателя \( 8y - 1 \).

\[ 8y - 1 > 0 \]

\[ 8y > 1 \]

\[ y > \frac{1}{8} \]

Вернёмся к замене \( y = 2^x \):

\[ 2^x > \frac{1}{8} \]

\[ 2^x > 2^{-3} \]

Так как основание степени \( 2 > 1 \), то при сравнении степеней знак неравенства сохраняется:

\[ x > -3 \]

Также нужно учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть \( 8y - 1 \neq 0 \), что мы учли, написав \( 8y - 1 > 0 \).

Ответ: x > -3.