20. Решите неравенство \(\frac{(x-4)^2-6}{13} \ge 0\).

Решение:

Чтобы дробь была больше или равна нулю, необходимо, чтобы числитель был больше или равен нулю, так как знаменатель (13) положительный.

1. Приравниваем числитель к нулю:

• \[ (x-4)^2 - 6 = 0 \]

2. Решаем квадратное уравнение:

• \[ (x-4)^2 = 6 \]
• \[ x-4 = \pm \sqrt{6} \]
• \[ x = 4 \pm \sqrt{6} \]

Получаем два корня: $$x_1 = 4 - \sqrt{6}$$ и $$x_2 = 4 + \sqrt{6}$$.

3. Определяем интервалы:

Числовая прямая разбивается на три интервала: $$(-\infty, 4-\sqrt{6}]$$, $$[4-\sqrt{6}, 4+\sqrt{6}]$$, $$[4+\sqrt{6}, \infty)$$.

Так как неравенство \(\ge 0\), то нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю.

График параболы $$y = (x-4)^2 - 6$$ направлен ветвями вверх, поэтому выражение положительно вне корней.

4. Записываем ответ:

• $$x \le 4 - \sqrt{6}$$ или $$x \ge 4 + \sqrt{6}$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 4-\sqrt{6}] \cup [4+\sqrt{6}; \infty)$$