20. Решите неравенство (х-6)^2 < √10(x-6).

Задание 20: Решение неравенства

Решим неравенство: \( (x-6)^2 < \sqrt{10}(x-6) \)

Сначала перенесем все в левую часть:

\[ (x-6)^2 - \sqrt{10}(x-6) < 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x-6) \) за скобки:

\[ (x-6) \big( (x-6) - \sqrt{10} \big) < 0 \]

\[ (x-6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0 \]

Теперь найдем корни соответствующего уравнения \( (x-6)(x - 6 - \sqrt{10}) = 0 \). Корни равны:

\( x_1 = 6 \)

\( x_2 = 6 + \sqrt{10} \)

У нас получилось два корня: \( 6 \) и \( 6 + \sqrt{10} \). Значение \( \sqrt{10} \) находится между \( \sqrt{9}=3 \) и \( \sqrt{16}=4 \), примерно 3.16.

Таким образом, \( x_1 = 6 \) и \( x_2 \approx 6 + 3.16 = 9.16 \).

Неравенство \( (x-6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0 \) выполняется, когда множители имеют разные знаки. Это происходит на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства:

\[ 6 < x < 6 + \sqrt{10} \]

Ответ: \( (6; 6 + \sqrt{10}) \)