20. Решите неравенство (x²-3x-18)(x²-13x+42)≥0.

Решение:

Решим неравенство \( (x^2 - 3x - 18)(x^2 - 13x + 42) \geq 0 \).

Сначала найдем корни каждого квадратного трехчлена.

1. Найдем корни для \( x^2 - 3x - 18 = 0 \):

Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \)

\( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Таким образом, \( x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3) \).

2. Найдем корни для \( x^2 - 13x + 42 = 0 \):

\( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1 \)

\( x_3 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( x_4 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Таким образом, \( x^2 - 13x + 42 = (x - 7)(x - 6) \).

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

\( (x - 6)(x + 3)(x - 7)(x - 6) \geq 0 \)

\( (x + 3)(x - 7)(x - 6)^2 \geq 0 \)

Отметим корни \( -3, 6, 7 \) на числовой оси. Корень \( x = 6 \) имеет кратность 2, поэтому знак интервала слева от него не меняется.

Расставим знаки:

• При \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( (8+3)(8-7)(8-6)^2 = (11)(1)(2)^2 = 44 \geq 0 \) — плюс.
• При \( 6 < x < 7 \) (например, \( x = 6,5 \)): \( (6,5+3)(6,5-7)(6,5-6)^2 = (9,5)(-0,5)(0,5)^2 = -2,375 \leq 0 \) — минус.
• При \( -3 < x < 6 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0+3)(0-7)(0-6)^2 = (3)(-7)(-6)^2 = -49 \times 36 = -1323 \leq 0 \) — минус.
• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( (-4+3)(-4-7)(-4-6)^2 = (-1)(-11)(-10)^2 = 11 \times 100 = 1100 \geq 0 \) — плюс.

Учитывая, что \( (x - 6)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), и мы ищем \( \geq 0 \), нам нужно, чтобы \( (x + 3)(x - 7) \geq 0 \) при \( x \neq 6 \), или \( x = 6 \).

Таким образом, решение неравенства:

\( x \in (-\infty; -3] \cup [7; \infty) \) и \( x = 6 \).

Или, в другом виде записи:

\( x \in (-\infty; -3] \cup \{6\} \cup [7; \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \cup \{6\} \cup [7; \infty) \)