20. Решите неравенство x ≤ 9/x.

Решение:

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить нулевую правую часть:

\[ x - \frac{9}{x} \le 0 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2 - 9}{x} \le 0 \]

Разложим числитель на множители:

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x} \le 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( x-3=0 \Rightarrow x=3 \) и \( x+3=0 \Rightarrow x=-3 \)
• Знаменатель: \( x=0 \)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения \( \frac{(x-3)(x+3)}{x} \) в каждом интервале:

Интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 0) \), \( (0, 3) \), \( (3, \infty) \).

Выберем тестовые точки:

• В интервале \( (-\infty, -3) \), например \( x=-4 \): \( \frac{(-4-3)(-4+3)}{-4} = \frac{(-7)(-1)}{-4} = \frac{7}{-4} < 0 \)
• В интервале \( (-3, 0) \), например \( x=-1 \): \( \frac{(-1-3)(-1+3)}{-1} = \frac{(-4)(2)}{-1} = \frac{-8}{-1} > 0 \)
• В интервале \( (0, 3) \), например \( x=1 \): \( \frac{(1-3)(1+3)}{1} = \frac{(-2)(4)}{1} = -8 < 0 \)
• В интервале \( (3, \infty) \), например \( x=4 \): \( \frac{(4-3)(4+3)}{4} = \frac{(1)(7)}{4} = \frac{7}{4} > 0 \)

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю \( \le 0 \). Значит, подходят интервалы \( (-\infty, -3] \) и \( (0, 3] \).

Обратите внимание, что \( x \neq 0 \), поэтому интервал \( (-3, 0) \) и \( (0, 3) \) не включает 0. Точки \( -3 \) и \( 3 \) включаются, так как неравенство нестрогое \( \le \) и эти значения обращают числитель в ноль.

Ответ: \( x \in (-\infty, -3] \cup (0, 3] \).