20. Решите неравенство x ≤ \( \frac{9}{x} \)

Решение:

Перенесём всё в одну часть неравенства:

\[ x - \frac{9}{x} \le 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2 - 9}{x} \le 0 \]

Разложим числитель на множители:

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x} \le 0 \]

Рассмотрим знаки выражений в интервалах, определённых корнями числителя (3, -3) и знаменателя (0).

• Интервал \( (-\infty, -3] \): Возьмём \( x = -4 \). \( \frac{(-4-3)(-4+3)}{-4} = \frac{(-7)(-1)}{-4} = \frac{7}{-4} < 0 \). Подходит.
• Интервал \( [-3, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( \frac{(-1-3)(-1+3)}{-1} = \frac{(-4)(2)}{-1} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0 \). Не подходит.
• Интервал \( (0, 3] \): Возьмём \( x = 1 \). \( \frac{(1-3)(1+3)}{1} = \frac{(-2)(4)}{1} = -8 \le 0 \). Подходит.
• Интервал \( [3, \infty) \): Возьмём \( x = 4 \). \( \frac{(4-3)(4+3)}{4} = \frac{(1)(7)}{4} = \frac{7}{4} > 0 \). Не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: \( x ∈ (-\infty, -3] ∪ (0, 3] \)