20. Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x^2+y^2=52 \\ 12x^2+3y^2=52x \end{cases}$$

Решение:

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} 4x^2+y^2=52 \\ 12x^2+3y^2=52x \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \( y^2 \):

\( y^2 = 52 - 4x^2 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 12x^2 + 3(52 - 4x^2) = 52x \)

Раскроем скобки:

\( 12x^2 + 156 - 12x^2 = 52x \)

Упростим уравнение:

\( 156 = 52x \)

Найдем \( x \):

\( x = \frac{156}{52} \)

\( x = 3 \)

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 3 \) в выражение для \( y^2 \):

\( y^2 = 52 - 4(3)^2 \)

\( y^2 = 52 - 4(9) \)

\( y^2 = 52 - 36 \)

\( y^2 = 16 \)

\( y = \pm\sqrt{16} \)

\( y = \pm 4 \)

Таким образом, мы получили две пары решений:

1. \( x = 3, y = 4 \)

2. \( x = 3, y = -4 \)

Проверим решения, подставив их в исходные уравнения.

Для \( (3, 4) \):

1) \( 4(3)^2 + 4^2 = 4(9) + 16 = 36 + 16 = 52 \) (Верно)

2) \( 12(3)^2 + 3(4)^2 = 12(9) + 3(16) = 108 + 48 = 156 \) (Неверно, должно быть \( 52 \times 3 = 156 \)).

Для \( (3, -4) \):

1) \( 4(3)^2 + (-4)^2 = 4(9) + 16 = 36 + 16 = 52 \) (Верно)

2) \( 12(3)^2 + 3(-4)^2 = 12(9) + 3(16) = 108 + 48 = 156 \) (Неверно, должно быть \( 52 \times 3 = 156 \)).

Внимательно пересмотрим решение. Ошибка в проверке второго уравнения.

Проверка второго уравнения:

\( 12x^2 + 3y^2 = 52x \)

Для \( (3, 4) \):

\( 12(3)^2 + 3(4)^2 = 12(9) + 3(16) = 108 + 48 = 156 \). Правая часть \( 52x = 52(3) = 156 \). Таким образом, \( 156 = 156 \) (Верно).

Для \( (3, -4) \):

\( 12(3)^2 + 3(-4)^2 = 12(9) + 3(16) = 108 + 48 = 156 \). Правая часть \( 52x = 52(3) = 156 \). Таким образом, \( 156 = 156 \) (Верно).

Оба решения верны.

Ответ: (3; 4), (3; -4).