20. Решите систему уравнений (x-8)(y-9)=0, y-5 ————— = 4. x+y-13

Задание 20: Решение системы уравнений

У нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} (x-8)(y-9)=0 \\ \frac{y-5}{x+y-13}=4 \end{cases} \]

Из первого уравнения \( (x-8)(y-9)=0 \) следует, что либо \( x-8=0 \), либо \( y-9=0 \). То есть, либо \( x=8 \), либо \( y=9 \). Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x=8 \)

Подставим \( x=8 \) во второе уравнение:

\[ \frac{y-5}{8+y-13}=4 \]

\[ \frac{y-5}{y-5}=4 \]

Это уравнение не имеет решений, потому что при \( y=5 \) знаменатель обращается в ноль. Если \( y \neq 5 \), то \( \frac{y-5}{y-5} = 1 \), а \( 1 \neq 4 \). Значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: \( y=9 \)

Подставим \( y=9 \) во второе уравнение:

\[ \frac{9-5}{x+9-13}=4 \]

\[ \frac{4}{x-4}=4 \]

Умножим обе части на \( x-4 \) (при условии, что \( x-4 \neq 0 \), то есть \( x \neq 4 \)):

\[ 4 = 4(x-4) \]

Разделим обе части на 4:

\[ 1 = x-4 \]

Найдем \( x \):

\[ x = 1+4 \]

\[ x = 5 \]

Получили решение \( x=5 \). Проверим условие \( x \neq 4 \): \( 5 \neq 4 \), условие выполняется. Также проверим, что знаменатель \( x+y-13 \) не равен нулю при \( x=5 \) и \( y=9 \): \( 5+9-13 = 14-13=1 \neq 0 \).

Таким образом, мы нашли одно решение: \( x=5, y=9 \).

Ответ: \( (5; 9) \).