20. Решите систему уравнений: { x²+y=5, 6x²-y²=2 }

Решение:

Система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y = 5 \\ 6x^2 - y^2 = 2 \end{cases} \]

1. Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 5 - x^2\).
2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 6x^2 - (5 - x^2)^2 = 2 \]

\[ 6x^2 - (25 - 10x^2 + x^4) = 2 \]

\[ 6x^2 - 25 + 10x^2 - x^4 = 2 \]

\[ -x^4 + 16x^2 - 27 = 0 \]

\[ x^4 - 16x^2 + 27 = 0 \]

Пусть \(t = x^2\). Тогда получаем квадратное уравнение:

\[ t^2 - 16t + 27 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 256 - 108 = 148 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37} \]

Найдем \(t\):

\[ t_{1,2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{37}}{2} = 8 \pm \sqrt{37} \]

Так как \(t = x^2\), то \(x^2 = 8 \pm \sqrt{37}\). Оба значения положительны, значит, есть четыре значения \(x\):

\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{8 + \sqrt{37}} \]

\[ x_{3,4} = \pm \sqrt{8 - \sqrt{37}} \]

Теперь найдём соответствующие значения \(y\) для каждого \(x^2\):

При \(x^2 = 8 + \sqrt{37}\):

\[ y = 5 - x^2 = 5 - (8 + \sqrt{37}) = 5 - 8 - \sqrt{37} = -3 - \sqrt{37} \]

При \(x^2 = 8 - \sqrt{37}\):

\[ y = 5 - x^2 = 5 - (8 - \sqrt{37}) = 5 - 8 + \sqrt{37} = -3 + \sqrt{37} \]

Таким образом, решениями системы являются:

\[ (\sqrt{8 + \sqrt{37}}, -3 - \sqrt{37}), \; (-\sqrt{8 + \sqrt{37}}, -3 - \sqrt{37}), \; (\sqrt{8 - \sqrt{37}}, -3 + \sqrt{37}), \; (-\sqrt{8 - \sqrt{37}}, -3 + \sqrt{37}) \]

Ответ: \( (\pm \sqrt{8 + \sqrt{37}}, -3 - \sqrt{37}); (\pm \sqrt{8 - \sqrt{37}}, -3 + \sqrt{37}) \)