20. Решите систему уравнений 4x^2 + y^2 = 85, 16x^2 + 4y^2 = 85x.

Решение:

Данная система уравнений:

• \[ \begin{cases} 4x^2 + y^2 = 85 \\ 16x^2 + 4y^2 = 85x \end{cases} \]

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 4, чтобы привести коэффициенты при $$y^2$$ к одному значению.

• \[ \begin{cases} 4 \cdot (4x^2 + y^2) = 4 \cdot 85 \\ 16x^2 + 4y^2 = 85x \end{cases} \]
• \[ \begin{cases} 16x^2 + 4y^2 = 340 \\ 16x^2 + 4y^2 = 85x \end{cases} \]

Шаг 2: Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны.

• \[ 340 = 85x \]

Шаг 3: Найдем значение x.

• \[ x = \frac{340}{85} \]
• \[ x = 4 \]

Шаг 4: Подставим значение x = 4 в первое уравнение системы, чтобы найти y.

• \[ 4x^2 + y^2 = 85 \]
• \[ 4 \cdot (4)^2 + y^2 = 85 \]
• \[ 4 \cdot 16 + y^2 = 85 \]
• \[ 64 + y^2 = 85 \]
• \[ y^2 = 85 - 64 \]
• \[ y^2 = 21 \]
• \[ y = \pm \sqrt{21} \]

Шаг 5: Проверим найденные значения во втором уравнении.

• \[ 16x^2 + 4y^2 = 85x \]
• \[ 16(4)^2 + 4(21) = 85(4) \]
• \[ 16(16) + 84 = 340 \]
• \[ 256 + 84 = 340 \]
• \[ 340 = 340 \]

Система решена верно.

Ответ: (4; $$\sqrt{21}$$), (4; -$$\sqrt{21}$$)