20 Решите уравнение 1/x^2 - 1/x - 6 = 0.

Решение уравнения:

Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы его решить, сделаем замену переменной.

1. Замена:

   Пусть $$y = \frac{1}{x}$$. Тогда уравнение примет вид:

   \[ y^2 - y - 6 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения:

   Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \]

   Корни уравнения:

   \[ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

   \[ y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

3. Обратная замена:

   Теперь вернемся к исходной переменной $$x$$. У нас есть два случая:

   Случай 1: $$y_1 = -2$$

   \[ \frac{1}{x} = -2 \]

   \[ x = \frac{1}{-2} = -0.5 \]

   Случай 2: $$y_2 = 3$$

   \[ \frac{1}{x} = 3 \]

   \[ x = \frac{1}{3} \]

4. Проверка:

   Убедимся, что знаменатели не равны нулю. В обоих случаях $$x \neq 0$$.

Ответ: $$x_1 = -0.5$$, $$x_2 = \frac{1}{3}$$.