20. Решите уравнение $$ \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0 $$

Question

20. Решите уравнение $$ \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0 $$

$Фото задания: 20. Решите уравнение $$ \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0 $$$ Фото задания

Accepted Answer

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Оно выглядит страшно, но на самом деле оно довольно простое, если понять, как с ним работать.

Замена переменной:
Видишь, что у нас есть два одинаковых выражения: $ \frac{1}{(x-1)^2} $ и $ \frac{3}{x-1} $? Давай сделаем замену, чтобы было понятнее. Пусть $ y = \frac{1}{x-1} $. Тогда $ y^2 = \frac{1}{(x-1)^2} $.
Подставляем и решаем:
Теперь наше уравнение выглядит так:
\[ y^2 + 3y - 10 = 0 \]
Это обычное квадратное уравнение. Мы можем решить его, например, с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac $. В нашем случае $ a=1 $, $ b=3 $, $ c=-10 $.
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
Теперь находим корни:
\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Обратная замена:
Мы нашли два значения для $ y $. Теперь нужно вернуться к нашей первоначальной переменной $ x $.
Случай 1: $ y = 2 $
\[ \frac{1}{x-1} = 2 \]
Умножаем обе части на $ (x-1) $:
\[ 1 = 2(x-1) \]
\[ 1 = 2x - 2 \]
\[ 2x = 3 \]
\[ x = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Случай 2: $ y = -5 $
\[ \frac{1}{x-1} = -5 \]
Умножаем обе части на $ (x-1) $:
\[ 1 = -5(x-1) \]
\[ 1 = -5x + 5 \]
\[ 5x = 4 \]
\[ x = \frac{4}{5} = 0.8 \]

Важно: Не забываем проверить, что знаменатель $ x-1 $ не равен нулю. Для $ x=1.5 $ и $ x=0.8 $ знаменатель не равен нулю.

Ответ: $$x = 1.5$$ и $$x = 0.8$$