20. Решите уравнение \(\frac{1}{x^2-12x+36} + \frac{12}{36-x^2} = \frac{1}{x+6}\)

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
   \( x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2 \)
   \( 36 - x^2 = -(x^2 - 36) = -(x-6)(x+6) \)
2. Приведём уравнение к общему знаменателю \( (x-6)^2(x+6) \). Обратите внимание, что \( x \neq 6 \) и \( x \neq -6 \).
3. Уравнение примет вид:
   \( \frac{1}{(x-6)^2} - \frac{12}{(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x+6} \)
   \( \frac{1(x+6)}{(x-6)^2(x+6)} - \frac{12(x-6)}{(x-6)^2(x+6)} = \frac{1(x-6)^2}{(x-6)^2(x+6)} \)
4. Умножим обе части на общий знаменатель:
   \( x+6 - 12(x-6) = (x-6)^2 \)
   \( x+6 - 12x + 72 = x^2 - 12x + 36 \)
   \( -11x + 78 = x^2 - 12x + 36 \)
5. Перенесём все члены в одну сторону:
   \( x^2 - 12x + 11x + 36 - 78 = 0 \)
   \( x^2 - x - 42 = 0 \)
6. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-42) = 1 + 168 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \).
7. Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
   \( x_2 = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
8. Проверим условие \( x \neq 6 \) и \( x \neq -6 \). Корень \( x_2 = -6 \) не подходит.

Ответ: x = 7.